Пьер де Ферма́ ( Pierre de Fermat, 17 августа 1601 — 12 января 1665) — французский математик, один из создателей аналитической геометрии, математического анализа, теории вероятностей и теории чисел. По профессии юрист, с 1631 года — советник парламента в Тулузе. Блестящий полиглот. Наиболее известен формулировкой Великой теоремы Ферма.
Биография
Пьер Ферма родился 17 августа 1601 года в гасконском городке Бомон-де-Ломань (Франция).
Его отец, Доминик Ферма, был зажиточным торговцем, вторым городским
консулом; мать, Клер де Лонг — преподавательница математики. В семье,
кроме Пьера, были ещё один сын и две дочери. Ферма получил юридическое
образование — сначала в Тулузе, а затем в Бордо и орлеане.
В 1631 году,
успешно закончив обучение, Ферма выкупил должность королевского
советника парламента (другими словами, члена высшего суда) в Тулузе. В
этом же году он женился на дальней родственнице матери, Луизе де Лонг.
У них было пятеро детей.
Быстрый служебный рост позволил Ферма стать членом Палаты эдиктов в городе Кастр (1648). Именно этой должности он обязан добавлением к своему имени признака знатности — частицы de; с этого времени он становится Пьером де Ферма.
Около 1652 года Ферма пришлось опровергать сообщение о своей кончине
во время эпидемии чумы; он действительно заразился, но выжил.
В 1660 году планировалась его встреча с Паскалем, но из-за плохого здоровья обоих учёных встреча не состоялась.
Пьер де Ферма умер 12 января 1665 года в городе Кастр, во время
выездной сессии суда. Первоначально его похоронили там же, в Кастре, но
вскоре (1675) прах перенесли в семейную усыпальницу Ферма, в церкви августинцев .
Старший сын, Клеман-Самуэль, издал посмертное собрание его трудов, из
которого современники и узнали о замечательных открытиях Пьера Ферма.
Современники характеризуют Ферма как честного, аккуратного,
уравновешенного и приветливого человека, блестяще эрудированного как в
математике, так и в гуманитарных науках, знатока многих древних и живых
языков, на которых он писал неплохие стихи.
Научная деятельность
Работа советника в парламенте города Тулузы не мешала Ферма
заниматься математикой. Постепенно он приобрёл славу одного из первых
математиков Франции, хотя и не писал книг (научных журналов ещё не
было), ограничиваясь лишь письмами к коллегам. Среди его
корреспондентов были Р. Декарт, Ф. Дезарт и другие.
Открытия Ферма дошли до нас благодаря сборнику его обширной переписки, изданной посмертно сыном Ферма.
В отличие от Галилея, Декарта и Ньютона, Ферма был чистым математиком — первым великим математиком новой Европы. Независимо от Декарта он создал аналитическую геометрию. Раньше Ньютона умел использовать дифференциальные методы для проведения касательных,
нахождения максимумов и вычисления площадей. Правда, Ферма, в отличие
от Ньютона, не свёл эти методы в систему, однако Ньютон позже
признавался, что именно работы Ферма подтолкнули его к созданию анализа .
Теория чисел
Математики древней Греции со времён Пифагора
коллекционировали диковинные факты о конкретных натуральных числах,
иногда очень больших, но теорем о числах не доказывали (за несколькими
исключениями). Лишь Диофант
(III век н. э.) написал книгу «Арифметика», в которой были и
отрицательные числа, и элементы символики, но, прежде всего,
многочисленные факты о решении в целых числах алгебраических уравнений
с несколькими неизвестными (их стали называть диофантовыми). Эта книга
(не полностью) стала известна в Европе в 16 веке, а в 1621 году она была издана во Франции и стала настольной книгой Ферма.
Ферма постоянно интересовался арифметическими задачами, обменивался
сложными задачами с современниками. Например, в своём письме,
получившем название «Второго вызова математикам» (февраль 1657), он
предложил найти общее правило решения уравнения Пелля ax2 + 1 = y2 в целых числах. В письме он предлагал найти решения при a=149, 109, 433. Полное решение задачи Ферма было найдено лишь в 1759 году Эйлером.
Начал Ферма с задач про магические квадраты и кубы, но постепенно
переключился на закономерности натуральных чисел — арифметические
теоремы. Несомненно влияние Диофанта на Ферма, и символично, что он
записывает свои удивительные открытия на полях «Арифметики».
Ферма обнаружил, что если a не делится на простое число p, то число ap − 1 − 1 всегда делится на p (Малая теорема Ферма). Позднее Эйлер дал доказательство и обобщение этого важного результата.
Обнаружив, что число 
простое при k ≤ 4, Ферма решил, что эти числа простые при всех k, но Эйлер впоследствии показал, что при k=5 имеется делитель 641. До сих пор неизвестно, конечно или бесконечно множество простых чисел Ферма.
простое при k ≤ 4, Ферма решил, что эти числа простые при всех k, но Эйлер впоследствии показал, что при k=5 имеется делитель 641. До сих пор неизвестно, конечно или бесконечно множество простых чисел Ферма.Эйлер доказал (1749) ещё одну гипотезу Ферма (сам Ферма редко приводил доказательства своих утверждений): простые числа вида 4k+1 представляются в виде суммы квадратов (5=4+1; 13=9+4), причём единственным способом, а для чисел вида 4k+3
такое представление невозможно. Эйлеру это доказательство стоило 7 лет
трудов; сам Ферма доказывал эту теорему косвенно, изобретённым им
индуктивным "методом бесконечного спуска". Этот метод был опубликован
только в 1879 году;
впрочем, Эйлер восстановил суть метода по нескольким замечаниям в
письмах Ферма и неоднократно успешно его применял. Позже
усовершенствованную версию метода применяли Пуанкаре и Андре Вейль.
Ферма разработал способ систематического нахождения всех делителей
числа, сформулировал теорему о возможности представления произвольного
числа суммой не более четырех квадратов (теорема Лагранжа о сумме четырех квадраторв).
Ферма занимали «невозможные» задачи — задачи, не имеющие решений. Самое знаменитое утверждение о «невозможности» — Великая теорема Ферма (ВТФ).
Многие арифметические открытия Ферма опередили время и были забыты
на 70 лет, пока ими не заинтересовался Эйлер, опубликовавший
систематическую теорию чисел. Одна из причин этого - интересы
большинства математиков переключились на математический анализ.
Математический анализ и геометрия
Ферма практически по современным правилам находил касательные к алгебраическим кривым. Именно эти работы подтолкнули Ньютона к созданию анализа В учебниках по математическому анализу можно найти важную лемму Ферма, или необходимый признак экстремума: в точках экстремума производная функции равна нулю.
Ферма сформулировал общий закон дифференцирования дробных степеней и распространил формулу интегрирования степени на случаи дробных и отрицательных показателей.
Наряду с Декартом, Ферма считается основателем аналитической геометрии. В работе «Введение к теории плоских и пространственных мест», ставшей известной в 1636 году, он первый провёл классификацию кривых в зависимости от порядка их уравнения, установил, что уравнение первого порядка определяет прямую, а уравнение второго порядка — каноническое сечение. Развивая эти идеи, Ферма пошёл дальше Декарта и применил аналитическую геометрию к пространству.
Другие достижения
Независимо от Паскаля Ферма разработал основы теории вероятностей. Именно с переписки Ферма и Паскаля (1654), в которой они, в частности, пришли к понятию математического ожидания
и теоремам сложения и умножения вероятностей, отсчитывает свою историю
эта замечательная наука. Результаты Ферма и Паскаля были приведены к
книге Гюйгенса «О расчётах в азартной игре» (1657), первом руководстве по теории вероятностей.
Имя Ферма носит основной принцип геометрической оптики, в силу
которого свет в неоднородной среде выбирает путь, занимающий наименьшее
время (впрочем, Ферма считал, что скорость света бесконечна, и
формулировал принцип более туманно). С этого тезиса начинается история
главного закона физики — принципа наименьшего действия.
Ферма перенёс на трёхмерный случай (внутреннего касания сфер) алгоритм Виета для задачи Аполлония (касания окружностей).
Великая теорема Ферма
Ферма широко известен благодаря т. н. великой (последней) теоремой Ферма. Теорема была сформулирована им в 1637 году, на полях книги «Арифметика» Диофанта с припиской, что найденное им остроумное доказательство этой теоремы слишком длинно, чтобы привести его на полях.
Вероятнее всего, его доказательство не было верным, так как позднее он опубликовал доказательство только для случая n = 4. Доказательство, найденное в 1994 году Эндрю Уайлсом, содержит 129 страниц и опубликовано в журнале «Annals of Mathematics» в 1995 году.
Простота формулировки этой теоремы привлекла много математиков-любителей, так называемых ферматистов. Даже и после решения Уайлса во все академии наук идут письма с «доказательствами» великой теоремы Ферма.
ТЕОРЕМА ФЕРМА—ЭЙЛЕРА О ПРЕДСТАВЛЕНИИ ПРОСТЫХ ЧИСЕЛ В ВИДЕ СУММЫ ДВУХ КВАДРАТОВБыть может, потомство будет призна-тельно мне за то, что я показал ему, что Древние знали не всё.
Пьер Ферма
Лишь один математик удостоился того, что имя его стало нарицательным. Если произносится слово <ферматист>, значит, речь идёт о человеке, одержимом до безумия какой-то несбыточной идеей. Но это слово ни в какой мере не может быть отнесено к самому Пьеру Ферма (1601—1665), одному из самых светлых умов Франции. Ферма — человек удивительной судьбы: один из величайших математиков всех времён, он не был, в современной терминологии,<профессиональным> математиком. По профессии Фема был юристом. Он получил великолепное гуманитарное образование и был выдающимся знатоком искусства и литературы. Всю жизнь он проработал на государственной службе, последние 17 лет был советником местного парламента в Тулузе. К математике его влекла бескорыстная и возвышенная любовь (это иногда случается с людьми), и именно эта наука дала ему всё, что может дать человеку любовь: упоение красотой, наслаждение и счастье. В те годы не было ещё математических журналов, и Ферма почти ничего не напечатал при жизни. Но он много переписывался со своими современниками, и посредством этой переписки некоторые его достижения становились известными. Пьеру Ферма повезло с детьми: сын обработал архив отца и издал его.
<Я доказал много исключительно красивых теорем>, — сказал как-то Ферма. Особенно много красивых фактов удалось ему обнаружить в теории чисел, которую, собственно, он и основал. В бумагах и в переписке Ферма было сформулировано немало замечательных утверждений, о которых он писал, что располагает их доказательством. И постепенно, год за годом таких недоказанных утверждений становилось всё меньше и меньше. И наконец осталось только одно. Хорошо известно, что квадраты некоторых чисел можно разложить в сумму двух квадратов. Таков египетский треугольник со сторонами 3, 4 и 5: 32+42=52. Можно описать все целочисленные решения уравнения x2+y2=z2. Это было сделано Диофантом, греческим 5 математиком, жившим (вероятно) в III в. н. э., во второй книге его трактата <Арифметика> (до нас дошло 6 книг из 13). На полях около решения Диофанта Ферма написал: <Нельзя разложить куб на два куба, ни квадрато-квадрат (т. е. четвёртую степень числа) на два квадрато-квадрата, ни вообще никакую степень выше квадрата
и до бесконечности нельзя разложить на две степени с тем же показателем. Я открыл этому поистине чудесное доказательство, но эти поля для него слишком узки>. Иначе говоря, уравнение xn+yn=zn при натуральном n>2 в натуральных числах неразрешимо. В бумагах Ферма было найдено доказательство этого утверждения для n=4 (это единственное подробное доказательство теоремы из теории чисел, обнаруженное в бумагах Ферма). Для n=3 теорему Ферма доказал Эйлер в 1768 году. В течение XIX века для доказательства теоремы Ферма были предприняты огромные усилия. Особенных успехов добился немецкий математик Куммер.
После его работ теорема Ферма оказалась доказанной для всех простых n (а доказать её достаточно только для них), меньших 100, кроме 37, 59 и 97. В XX веке теорема Ферма была доказана для простых чисел, меньших 100 000, но окончательное решение так и не было найдено.
В 1908 году любитель математики Вольфскель завещал 100 000 марок тому, кто докажет теорему Ферма. Это стало бедствием для математиков многих стран. Потекли сотни и тысячи писем с доказательствами теоремы Ферма. Как правило, они содержали элементарные ошибки, но на их нахождение тратились немалые силы многих математиков. Во время Первой мировой войны эта премия обесценилась. Поток псевдодоказательств сократился, но не иссяк. И уже казалось, что эта проблема перейдёт через новую грань веков, но всё-таки английский математик Уайлс <залатал последнюю дыру> в своём доказательстве этой великой теоремы, с которым он впервые предстал перед математическим миром в 1993 году. Мир признал: Великая теорема Ферма доказана!
Однако тем, кто интересуется математикой, имя Ферма говорит очень многое независимо от его Великой теоремы. Он был, без всякого сомнения, одним из самых проницательных умов своего времени — времени Гигантов. Его по праву считают основоположником теории чисел, он внёс огромный вклад в зарождающиеся новые направления, определившие последующее развитие науки: математический анализ и аналитическую геометрию. Мы признательны Ферма за то, что он приоткрыл для нас мир, полный красоты и загадочности.
Следующая теорема, несомненно, принадлежит к числу высших достижений математики XVII—XVIII веков.
Взгляните на несколько первых нечётных простых чисел: 3, 5,7, 11, 13, 17, 19, ... Числа 5, 13, 17 представимы в виде суммы двух квадратов: 5=22+12, 13=22+32, 17=12+42, а остальные числа (3, 7, 11, 19) этим свойством не обладают. Можно ли объяснить этот феномен? Ответ на этот вопрос даёт Теорема 2. Для того чтобы нечётное простое число было представимо в виде суммы двух квадратов, необходимо и достаточно,
чтобы оно при делении на 4 давало в остатке 1.
На Рождество 1640 года в письме от 25 декабря Пьер Ферма извещал знаменитого Мерсенна, друга Декарта и главного посредника в переписке учёных того времени, о том, что <всякое простое число, которое при делении на четыре даёт единицу, единственным способом представимо как сумма двух квадратов>.
В ту пору математических журналов ещё не существовало, информацией обменивались в письмах и, как правило, результаты лишь анонсировались, но не сопровождались детальными доказательствами.
Правда, спустя почти двадцать лет после письма Мерсенну в письме к Каркави, отправленном в августе 1659 года, Ферма приоткрывает замысел доказательства сформулированной выше теоремы. Он пишет, что основная идея доказательства состоит в методе спуска, позволяющем из предположения, что для какого-то простого числа вида 4n+1 заключение теоремы неверно, получить, что оно неверно и для меньшего числа того же вида, и т. д., пока мы не доберёмся до числа 5, когда окончательно придём к противоречию. Первые доказательства, которые впоследствии были опубликованы, найдены Эйлером между 1742 и 1747 годами. Причём, желая утвердить приоритет Ферма, к которому он испытывал чувства глубочайшего уважения, Эйлер придумал доказательство, соответствующее описанному выше замыслу Ферма.
Воздавая должное обоим великим учёным (об Эйлере речь ещё впереди), мы называем эту теорему теоремой Ферма—Эйлера. Есть свойство, присущее почти всякому прекрасному математическому результату, равно как и почти всякой неприступной и прекрасной горной вершине: его можно штурмовать с разных сторон и все пути доставляют наслаждение тому, кто не устрашится им последовать.
В статье в <Кванте>(4) приведеы три совершенно различных доказательства. Одно из них (принадлежащее Лагранжу) было придумано в XVIII веке, другое — Германа Минковского —в XIX веке, а третье — нашим современником Даном Цагиром.
Доказательство Лагранжа опирается на следующую лемму Вильсона: если p — простое число, то число (p−1)!+1 делится на p. Чтобы не отвлекаться на доказательство этого вспомогательного факта, продемонстрируем лишь основную идею этого доказательства на примере простого числа 13. Для любого числа x, 2≤x≤11, найдётся такое число y, 2≤y≤11, что xy при делении на 13 даёт в остатке 1.
Действительно, (13−1)!=12!=(2·7)·(3·9)·(4·10)·(5·8)·(6·11)·12, и при этом все пизведения в скобках при делении на 13 дают в остатке 1, а значит, 12! при делении на 13 даст в остатке 12, откуда (для выбранного нами числа 13) следует утверждение леммы Вильсона. Из леммы Вильсона извлечём такое следствие: если p=4n+1, где n — натуральное число, то ((2n)!)2+1 делится на p. Действительно, из леммы Вильсона следует, что (4n)!+1 делится на p, и теперь необходимое утверждение вытекает из следующей выкладки:
(4n)!+1=(2n)! (2n+1)(2n+2)·...·(4n)+1=(2n)! (p−2n)(p−2n+1)·...·(p−1)+1=(2n)! (−1)2n(2n−p)(2n−1−p)·...·(1−p)+≡((2n)!)2+1 (mod p). Обозначим (2n)! через N. Мы доказали, что N2≡−1 (mod p).
Теперь нам предстоит преодолеть основную трудность. Рассмотрим все пары целых чисел (m, s), такие что 0≤m≤[√p],0≤s≤[√p], через [√p] обозначена целая часть числа√p — наибольшее целое число, не превосходящее√p. Число таких пар([√p]+1)2>p. Значит, по крайней мере для двух р а з л и ч н ы х пар (m1, s1) и (m2, s2) остатки от деления m1+Ns1 и m2+Ns2 на p одинаковы, т. е. число a+Nb, где a=m1−m2, b=s1−s2, будет делиться на p. При этом |a|≤[√p], |b|≤[√p]. Но тогда число a2−N2b2=(a+Nb)(a−Nb) делится на p, и значит, учитывая, что N2≡−1 (mod p), получим, что a2+b2 делится на p, т. е.
a2+b2=rp, где r — натуральное число (r=0, ибо иначе пары(m1, s1) и (m2, s2) были бы одинаковы). С другой стороны, a2+b2≤2[√p]2<2p, т. е. r=1, и значит, a2+b2=p. Теорема 2 доказана.
Вопрос о представлении чисел в виде суммы двух квадратов исчерпывается следующим утверждением. Натуральное число представимо в виде суммы двух квадратов целых чисел тогда и только тогда, когда все простые сомножители вида 4k+3 входят в разложение этого числа на простые сомножители с чётными показателями (см. [3, с. 45]).
Теорема Ферма—Эйлера очень красиво доказывается, если использовать теорию делимости целых комплексных чисел n+mi,n, m — целые
Примечания
- Стиллвелл Д. Математика и ее история. - Москва-Ижевск: Институт компьютерных исследований, 2004, стр. 211-212.
- Белл Э. Т. Указ. соч., стр. 58.
- С. И. Вавилов. Исаак Ньютон. 2-е дополненное издание. М.-Л.: Изд. АН СССР, 1945 г., глава 13.
- В. М. Т и х о м и р о в. Теорема Ферма—Эйлера о двух квадратах // Квант. 1991. № 10.